Κατανόηση των εξισώσεων maxwell

Οι εξισώσεις Maxwell είναι οι βασικές αρχές της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας, η οποία αποτελεί ένα σύνολο τεσσάρων εξισώσεων που σχετίζονται με τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία. Αντί να απαριθμήσουμε τη μαθηματική αναπαράσταση των εξισώσεων Maxwell, θα επικεντρωθούμε σε ποια είναι η πραγματική σημασία αυτών των εξισώσεων σε αυτό το άρθρο. Η πρώτη και η δεύτερη εξίσωση του Maxwell ασχολείται με στατικά ηλεκτρικά πεδία και στατικά μαγνητικά πεδία αντίστοιχα. Η τρίτη και τέταρτη εξίσωση του Maxwell ασχολείται με την αλλαγή μαγνητικών πεδίων και την αλλαγή ηλεκτρικών πεδίων αντίστοιχα.

Οι εξισώσεις Maxwell είναι:

1. Gauss νόμος της ηλεκτρικής ενέργειας
2. Ο νόμος του μαγνητισμού Gauss
3. Ο νόμος επαγωγής του Faraday
4. Ο νόμος του Αμπέρ

1. Ο νόμος Gauss για την ηλεκτρική ενέργεια

Ο νόμος αυτός αναφέρει ότι η ηλεκτρική ροή από μια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη με το συνολικό φορτίο που περικλείεται από αυτήν την επιφάνεια. Ο νόμος Gauss ασχολείται με το στατικό ηλεκτρικό πεδίο.

Ας εξετάσουμε ένα φορτίο θετικού σημείου Ε. Γνωρίζουμε ότι οι γραμμές ηλεκτρικής ροής κατευθύνονται προς τα έξω από το θετικό φορτίο.

Ας εξετάσουμε μια κλειστή επιφάνεια με το Charge Q να _{περικλείεται} σε αυτήν. Το Vector Vector επιλέγεται πάντα Κανονικό σε αυτό, επειδή αντιπροσωπεύει τον προσανατολισμό της επιφάνειας. Αφήστε τη γωνία που γίνεται από το διάνυσμα ηλεκτρικού πεδίου με το διάνυσμα περιοχής να είναι θ.

Το Electric Flux ψ είναι

Ο λόγος για την επιλογή του προϊόντος κουκκίδων είναι ότι πρέπει να υπολογίσουμε πόσο ηλεκτρική ροή περνά μέσα από την επιφάνεια που αντιπροσωπεύεται από ένα φορέα κανονικής περιοχής.

Από το νόμο coulombs, γνωρίζουμε ότι το Ηλεκτρικό Πεδίο (Ε) που οφείλεται σε πόντους φόρτισης είναι Q / 4πε ₀ r ².

Λαμβάνοντας υπόψη μια σφαιρική συμμετρία, η ολοκληρωμένη μορφή του νόμου Gauss είναι:

Επομένως το Electric Flux Ψ = Q _{εσωκλειόμενο} / ε ₀

Εδώ το Q που _{περικλείεται} αντιπροσωπεύει το διανυσματικό άθροισμα όλων των φορτίων μέσα στην επιφάνεια. Η περιοχή που περικλείει τη φόρτιση μπορεί να είναι οποιουδήποτε σχήματος, αλλά για να εφαρμόσουμε το νόμο Gauss, πρέπει να επιλέξουμε μια επιφάνεια Gauss που είναι συμμετρική και έχει ομοιόμορφη κατανομή φορτίου. Η επιφάνεια του Gauss μπορεί να είναι κυλινδρική ή σφαιρική ή επίπεδο.

Για να αντλήσουμε τη Διαφορική του μορφή, πρέπει να εφαρμόσουμε το θεώρημα Divergence.

Η παραπάνω εξίσωση είναι η διαφορική μορφή του Gauss Νόμου ή Maxwell Εξίσωση Ι.

Στην παραπάνω εξίσωση, το ρ αντιπροσωπεύει την πυκνότητα φόρτισης όγκου. Όταν πρέπει να εφαρμόσουμε τον νόμο Gauss σε μια επιφάνεια με κατανομή φορτίου γραμμής ή επιφανειακής φόρτισης, είναι πιο βολικό να αναπαριστούμε την εξίσωση με την πυκνότητα φορτίου.

Επομένως μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η Απόκλιση ενός Ηλεκτρικού πεδίου πάνω σε μια κλειστή επιφάνεια δίνει το ποσό φόρτισης (ρ) που περικλείεται από αυτό. Εφαρμόζοντας απόκλιση σε ένα διανυσματικό πεδίο, μπορούμε να γνωρίζουμε εάν η επιφάνεια που περικλείεται από το πεδίο του φορέα λειτουργεί ως πηγή ή νεροχύτης.

Ας θεωρήσουμε ένα κυβοειδές με θετικό φορτίο όπως φαίνεται παραπάνω. Όταν εφαρμόζουμε απόκλιση στο ηλεκτρικό πεδίο που βγαίνει από το κουτί (cuboid), το αποτέλεσμα της μαθηματικής έκφρασης μας λέει ότι το πλαίσιο (cuboid) που θεωρείται ενεργεί ως πηγή για το υπολογισμένο ηλεκτρικό πεδίο. Εάν το αποτέλεσμα είναι αρνητικό, μας λέει ότι το κουτί λειτουργεί ως νεροχύτης, δηλαδή το κουτί περικλείει μια αρνητική φόρτιση σε αυτό. Εάν η απόκλιση είναι μηδέν, αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει επιβάρυνση σε αυτήν.

Από αυτό, θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε ότι υπάρχουν ηλεκτρικά μονοπώλια.

2. Ο νόμος του μαγνητισμού Gauss

Γνωρίζουμε ότι η γραμμή μαγνητικής ροής ρέει εξωτερικά από τον Βόρειο πόλο προς τον νότιο πόλο.

Επειδή υπάρχουν γραμμές μαγνητικής ροής λόγω μόνιμου μαγνήτη, θα υπάρχει σχετική πυκνότητα μαγνητικής ροής (Β). Όταν εφαρμόζουμε το θεώρημα απόκλισης στην επιφάνεια S1, S2, S3 ή S4, βλέπουμε ότι ο αριθμός των γραμμών ροής που εισέρχονται και εξέρχονται από την επιλεγμένη επιφάνεια παραμένει ο ίδιος. Επομένως, το αποτέλεσμα του θεώρηματος απόκλισης είναι μηδέν. Ακόμα και στην επιφάνεια S2 και S4, η απόκλιση είναι μηδενική, πράγμα που σημαίνει ότι ούτε ο βόρειος πόλος ούτε ο νότιος πόλος ενεργούν ξεχωριστά μια πηγή ή βυθίζονται όπως τα ηλεκτρικά φορτία. Ακόμη και όταν εφαρμόζουμε απόκλιση του μαγνητικού πεδίου (B) λόγω ενός σύρματος μεταφοράς ρεύματος, αποδεικνύεται μηδέν.

Η αναπόσπαστη μορφή του νόμου Gauss του μαγνητισμού είναι:

Η διαφορική μορφή του νόμου του Μαγνητισμού Gauss είναι:

Από αυτό, θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε ότι δεν υπάρχουν μαγνητικά μονοπόλια.

3. Ο νόμος επαγωγής του Faraday

Ο νόμος του Faraday δηλώνει ότι όταν υπάρχει μια αλλαγή στη μαγνητική ροή (αλλαγή σε σχέση με το χρόνο) που συνδέει ένα πηνίο ή οποιονδήποτε αγωγό, θα υπάρχει ένα EMF που προκαλείται στο πηνίο. Ο Lenz δήλωσε ότι το EMF που προκαλείται θα είναι σε μια κατεύθυνση έτσι ώστε να αντιτίθεται στη μεταβολή της μαγνητικής ροής που την παράγει.

Στην παραπάνω απεικόνιση, όταν μια αγώγιμη πλάκα ή ένας αγωγός φέρεται υπό την επίδραση ενός μεταβαλλόμενου μαγνητικού πεδίου, προκαλείται κυκλοφορία ρεύματος σε αυτό. Το ρεύμα προκαλείται σε μια τέτοια κατεύθυνση που το μαγνητικό πεδίο που παράγεται από αυτό αντιτίθεται στο μεταβαλλόμενο μαγνητικό που το δημιούργησε. Από αυτήν την απεικόνιση, είναι σαφές ότι η αλλαγή ή η μεταβολή του μαγνητικού πεδίου δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο που κυκλοφορεί.

Από το νόμο του Faraday, emf = - dϕ / dt

Ξέρουμε ότι, _closed = _{κλειστή επιφάνεια} ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ Β. dS

Ηλεκτρικό πεδίο E = V / d

V = ʃ E.dl

Δεδομένου ότι το ηλεκτρικό πεδίο αλλάζει σε σχέση με την επιφάνεια (μπούκλα), υπάρχει μια πιθανή διαφορά V.

Επομένως, η ολοκληρωμένη μορφή της τέταρτης εξίσωσης του Maxwell είναι,

Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Stoke,

Ο λόγος για την εφαρμογή του θεωρήματος του Stoke είναι ότι όταν παίρνουμε μια καμπύλη ενός περιστρεφόμενου πεδίου πάνω σε μια κλειστή επιφάνεια, τα εσωτερικά στοιχεία καμπύλης του φορέα ακυρώνουν το ένα το άλλο και αυτό έχει ως αποτέλεσμα την αξιολόγηση του πεδίου του φορέα κατά μήκος της κλειστής διαδρομής.

Ως εκ τούτου μπορούμε να το γράψουμε αυτό,

Η διαφορική μορφή της εξίσωσης του Maxwell είναι

Από την παραπάνω έκφραση, είναι σαφές ότι ένα μαγνητικό πεδίο που αλλάζει σε σχέση με το χρόνο παράγει ένα ηλεκτρικό πεδίο που κυκλοφορεί.

Σημείωση: Στην ηλεκτροστατική, η καμπύλη ενός ηλεκτρικού πεδίου είναι μηδέν, επειδή αναδύεται ακτινικά προς τα έξω από το φορτίο και δεν υπάρχει σχετικό περιστρεφόμενο στοιχείο.

4. Ο νόμος του Ampere

Ο νόμος της Ampere δηλώνει ότι όταν ένα ηλεκτρικό ρεύμα ρέει μέσω ενός καλωδίου, παράγει ένα μαγνητικό πεδίο γύρω από αυτό. Μαθηματικά, η ενσωματωμένη γραμμή του μαγνητικού πεδίου γύρω από έναν κλειστό βρόχο δίνει το συνολικό ρεύμα που περικλείεται από αυτό.

ʃ Β .dl = μ ₀ I περικλείεται

Δεδομένου ότι το μαγνητικό πεδίο κυρτώνεται γύρω από το καλώδιο, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Stoke στον νόμο του Ampere.

Επομένως η εξίσωση γίνεται

Μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε το ρεύμα που περικλείεται σε όρους πυκνότητας ρεύματος J.

B = μ ₀ H χρησιμοποιώντας αυτήν τη σχέση, μπορούμε να γράψουμε την έκφραση ως

Όταν εφαρμόζουμε απόκλιση στην καμπύλη ενός περιστρεφόμενου πεδίου φορέα, το αποτέλεσμα είναι μηδέν. Είναι επειδή η κλειστή επιφάνεια δεν λειτουργεί ως πηγή ή νεροχύτης, δηλαδή ο αριθμός ροής που εισέρχεται και βγαίνει από την επιφάνεια είναι ο ίδιος. Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί μαθηματικά ως,

Ας εξετάσουμε ένα κύκλωμα όπως φαίνεται παρακάτω.

Το κύκλωμα έχει έναν πυκνωτή συνδεδεμένο σε αυτό. Όταν εφαρμόζουμε απόκλιση στην περιοχή S1, το αποτέλεσμα δείχνει ότι δεν είναι μηδέν. Στη μαθηματική σημειογραφία,

Υπάρχει μια ροή ρεύματος στο κύκλωμα, αλλά στον πυκνωτή, τα φορτία μεταφέρονται λόγω της αλλαγής ηλεκτρικού πεδίου στις πλάκες. Έτσι φυσικά το ρεύμα δεν ρέει μέσα από αυτό. Ο Maxwell επινόησε αυτήν την μεταβαλλόμενη ηλεκτρική ροή ως Ρεύμα μετατόπισης (J _D). Αλλά ο Maxwell επινόησε τον όρο Ρεύμα μετατόπισης (J _D) λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία του νόμου του Faraday, δηλαδή εάν ένα μαγνητικό πεδίο που αλλάζει με τον χρόνο παράγει ένα ηλεκτρικό πεδίο, τότε με τη συμμετρία, το μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο παράγει ένα μαγνητικό πεδίο.

Η καμπύλη έντασης μαγνητικού πεδίου (Η) στην περιοχή S1 είναι

Η ολοκληρωμένη μορφή της τέταρτης εξίσωσης του Maxwell μπορεί να εκφραστεί ως:

Η διαφορική μορφή της τέταρτης εξίσωσης του Maxwell είναι:

Και οι τέσσερις εξισώσεις είτε στην ολοκληρωμένη μορφή είτε στη διαφορική μορφή μαζί ονομάζονται εξίσωση του Maxwell.