- Αναλογικά ή ψηφιακά φίλτρα
- Ενεργά ή παθητικά φίλτρα
- Φίλτρα με βάση τη συχνότητα ήχου ή ραδιοφώνου
- Φίλτρα με βάση την επιλογή συχνότητας
- Φίλτρο Butterworth πρώτης παραγγελίας Butterworth
- Φίλτρο χαμηλής διέλευσης Butterworth δεύτερης τάξης
- Παράγωγα φίλτρου Lowworth δεύτερης τάξης Butterworth -Aliter
Τα ηλεκτρικά φίλτρα έχουν πολλές εφαρμογές και χρησιμοποιούνται εκτενώς σε πολλά κυκλώματα επεξεργασίας σήματος. Χρησιμοποιείται για την επιλογή ή την εξάλειψη σημάτων επιλεγμένης συχνότητας σε ένα πλήρες φάσμα μιας δεδομένης εισόδου. Έτσι, το φίλτρο χρησιμοποιείται για να επιτρέπει τη διέλευση σημάτων επιλεγμένης συχνότητας ή την εξάλειψη σημάτων επιλεγμένης συχνότητας που διέρχονται από αυτό.
Προς το παρόν, υπάρχουν πολλοί τύποι φίλτρων και διαφοροποιούνται με πολλούς τρόπους. Και έχουμε καλύψει πολλά φίλτρα σε προηγούμενα μαθήματα, αλλά η πιο δημοφιλής διαφοροποίηση βασίζεται,
- Αναλογικό ή ψηφιακό
- Ενεργό ή παθητικό
- Ήχος ή ραδιοσυχνότητα
- Επιλογή συχνότητας
Αναλογικά ή ψηφιακά φίλτρα
Γνωρίζουμε ότι τα σήματα που παράγονται από το περιβάλλον είναι αναλογικά στη φύση, ενώ τα σήματα που υποβάλλονται σε επεξεργασία σε ψηφιακά κυκλώματα είναι ψηφιακά στη φύση. Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τα αντίστοιχα φίλτρα για αναλογικά και ψηφιακά σήματα για να πάρουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα. Πρέπει λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε αναλογικά φίλτρα κατά την επεξεργασία αναλογικών σημάτων και να χρησιμοποιήσουμε ψηφιακά φίλτρα κατά την επεξεργασία ψηφιακών σημάτων.
Ενεργά ή παθητικά φίλτρα
Τα φίλτρα χωρίζονται επίσης με βάση τα συστατικά που χρησιμοποιούνται κατά το σχεδιασμό των φίλτρων. Εάν ο σχεδιασμός του φίλτρου βασίζεται πλήρως σε παθητικά εξαρτήματα (όπως αντίσταση, πυκνωτής & επαγωγέας), τότε το φίλτρο ονομάζεται παθητικό φίλτρο. Από την άλλη πλευρά, εάν χρησιμοποιούμε ένα ενεργό στοιχείο (op-amp, πηγή τάσης, τρέχουσα πηγή) κατά το σχεδιασμό ενός κυκλώματος, τότε το φίλτρο ονομάζεται ενεργό φίλτρο.
Πιο δημοφιλή, αν και ένα ενεργό φίλτρο προτιμάται από το παθητικό, καθώς έχουν πολλά πλεονεκτήματα. Μερικά από αυτά τα πλεονεκτήματα αναφέρονται παρακάτω:
- Χωρίς πρόβλημα φόρτωσης: Γνωρίζουμε ότι σε ένα ενεργό κύκλωμα χρησιμοποιούμε ένα op-amp που έχει πολύ υψηλή αντίσταση εισόδου και χαμηλή αντίσταση εξόδου. Σε αυτήν την περίπτωση όταν συνδέουμε ένα ενεργό φίλτρο σε ένα κύκλωμα, τότε το ρεύμα που αντλείται από το op-amp θα είναι πολύ αμελητέο καθώς έχει πολύ υψηλή αντίσταση εισόδου και έτσι το κύκλωμα δεν έχει καμία επιβάρυνση όταν είναι συνδεδεμένο το φίλτρο.
- Ευελιξία προσαρμογής κέρδους: Σε παθητικά φίλτρα, η ενίσχυση κέρδους ή σήματος δεν είναι δυνατή καθώς δεν θα υπάρχουν συγκεκριμένα στοιχεία για την εκτέλεση μιας τέτοιας εργασίας. Από την άλλη πλευρά σε ένα ενεργό φίλτρο, έχουμε op-amp που μπορεί να παρέχει υψηλό κέρδος ή ενίσχυση σήματος στα σήματα εισόδου.
- Ευελιξία προσαρμογής συχνότητας: Τα ενεργά φίλτρα έχουν μεγαλύτερη ευελιξία κατά την προσαρμογή της συχνότητας αποκοπής σε σύγκριση με τα παθητικά φίλτρα.
Φίλτρα με βάση τη συχνότητα ήχου ή ραδιοφώνου
Τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται στη σχεδίαση του φίλτρου αλλάζουν ανάλογα με την εφαρμογή του φίλτρου ή το πού χρησιμοποιείται η εγκατάσταση. Για παράδειγμα, τα φίλτρα RC χρησιμοποιούνται για εφαρμογές ήχου ή χαμηλής συχνότητας, ενώ τα φίλτρα LC χρησιμοποιούνται για εφαρμογές ραδιοφώνου ή υψηλής συχνότητας.
Φίλτρα με βάση την επιλογή συχνότητας
Τα φίλτρα διαιρούνται επίσης με βάση τα σήματα που περνούν μέσω του φίλτρου
Φίλτρο χαμηλής διέλευσης:
Όλα τα σήματα πάνω από τις επιλεγμένες συχνότητες εξασθενούν. Είναι δύο τύπων - Active Low Pass Filter και Passive Low Pass Filter. Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου χαμηλής διέλευσης φαίνεται παρακάτω. Εδώ, το διακεκομμένο γράφημα είναι το ιδανικό γράφημα φίλτρου χαμηλής διέλευσης και ένα καθαρό γράφημα είναι η πραγματική απόκριση ενός πρακτικού κυκλώματος. Αυτό συνέβη επειδή ένα γραμμικό δίκτυο δεν μπορεί να παράγει ασυνεχές σήμα. Όπως φαίνεται στο σχήμα αφού τα σήματα φτάσουν στη συχνότητα αποκοπής fH, αντιμετωπίζουν εξασθένηση και μετά από μια ορισμένη υψηλότερη συχνότητα τα σήματα που δίνονται στην είσοδο αποκλείονται εντελώς.
Φίλτρο υψηλής διέλευσης:
Όλα τα σήματα πάνω από τις επιλεγμένες συχνότητες εμφανίζονται στην έξοδο και ένα σήμα κάτω από αυτό αποκλείεται η συχνότητα. Είναι δύο τύπων - Active High Pass Filter και Passive High Pass Filter. Η απόκριση συχνότητας ενός φίλτρου διέλευσης εμφανίζεται παρακάτω Εδώ, ένα διάγραμμα με τελείες είναι το ιδανικό γράφημα φίλτρου υψηλής διέλευσης και ένα καθαρό γράφημα είναι η πραγματική απόκριση ενός πρακτικού κυκλώματος. Αυτό συνέβη επειδή ένα γραμμικό δίκτυο δεν μπορεί να παράγει ασυνεχές σήμα. Όπως φαίνεται στο σχήμα έως ότου τα σήματα έχουν συχνότητα υψηλότερη από τη συχνότητα αποκοπής fL, αντιμετωπίζουν εξασθένηση.
Φίλτρο ζώνης διέλευσης:
Σε αυτό το φίλτρο, επιτρέπονται μόνο σήματα της επιλεγμένης περιοχής συχνοτήτων στην έξοδο, ενώ μπλοκάρονται σήματα οποιασδήποτε άλλης συχνότητας. Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου διέλευσης ζώνης φαίνεται παρακάτω. Εδώ, το διακεκομμένο γράφημα είναι το ιδανικό γράφημα φίλτρου ζώνης και ένα καθαρό γράφημα είναι η πραγματική απόκριση ενός πρακτικού κυκλώματος. Όπως φαίνεται στο σχήμα, τα σήματα στο εύρος συχνοτήτων από fL έως fH επιτρέπεται να διέρχονται από το φίλτρο ενώ τα σήματα άλλων συχνοτήτων εξασθενούν. Μάθετε περισσότερα για το Band Pass Filter εδώ.
Φίλτρο απόρριψης ζώνης:
Η λειτουργία φίλτρου απόρριψης ζώνης είναι ακριβώς το αντίθετο του φίλτρου ζώνης. Όλα τα σήματα συχνότητας που έχουν τιμή συχνότητας στο επιλεγμένο εύρος ζώνης που παρέχεται στην είσοδο αποκλείονται από το φίλτρο, ενώ επιτρέπεται η εμφάνιση σημάτων οποιασδήποτε άλλης συχνότητας στην έξοδο.
Όλο το φίλτρο διέλευσης:
Τα σήματα οποιασδήποτε συχνότητας επιτρέπεται να διέρχονται από αυτό το φίλτρο, εκτός εάν εμφανίζουν μετατόπιση φάσης.
Με βάση την εφαρμογή και το κόστος, ο σχεδιαστής μπορεί να επιλέξει το κατάλληλο φίλτρο από διάφορους τύπους.
Αλλά εδώ μπορείτε να δείτε στα γραφήματα εξόδου τα επιθυμητά και τα πραγματικά αποτελέσματα δεν είναι ακριβώς τα ίδια. Αν και αυτό το σφάλμα επιτρέπεται σε πολλές εφαρμογές μερικές φορές χρειαζόμαστε ένα πιο ακριβές φίλτρο του οποίου το γράφημα εξόδου τείνει περισσότερο προς το ιδανικό φίλτρο. Αυτή η σχεδόν ιδανική απόκριση μπορεί να επιτευχθεί με τη χρήση ειδικών τεχνικών σχεδιασμού, εξαρτημάτων ακριβείας και op-amp υψηλής ταχύτητας.
Οι Butterworth, Caur και Chebyshev είναι μερικά από τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα φίλτρα που μπορούν να παρέχουν μια σχεδόν ιδανική καμπύλη απόκρισης. Σε αυτά, θα συζητήσουμε εδώ το φίλτρο Butterworth, καθώς είναι το πιο δημοφιλές από τα τρία.
Τα κύρια χαρακτηριστικά του φίλτρου Butterworth είναι:
- Είναι ένα φίλτρο βασισμένο σε RC (Resistor, Capacitor) & Op-amp (λειτουργικός ενισχυτής)
- Είναι ένα ενεργό φίλτρο, οπότε το κέρδος μπορεί να ρυθμιστεί αν χρειαστεί
- Το βασικό χαρακτηριστικό του Butterworth είναι ότι διαθέτει επίπεδη ζώνη διέλευσης και επίπεδη ζώνη διακοπής. Αυτός είναι ο λόγος που συνήθως ονομάζεται «επίπεδο επίπεδο φίλτρο».
Τώρα ας συζητήσουμε το μοντέλο κυκλώματος του Low Pass Butterworth Filter για καλύτερη κατανόηση.
Φίλτρο Butterworth πρώτης παραγγελίας Butterworth
Το σχήμα δείχνει το μοντέλο κυκλώματος του φίλτρου πρώτης τάξεως χαμηλού περάσματος βουτύρου.
Στο κύκλωμα έχουμε:
- Τάση «Vin» ως σήμα τάσης εισόδου το οποίο είναι αναλογικό στη φύση.
- Η τάση «Vo» είναι η τάση εξόδου του λειτουργικού ενισχυτή.
- Οι αντιστάσεις «RF» και «R1» είναι οι αρνητικές αντιστάσεις ανάδρασης του λειτουργικού ενισχυτή.
- Υπάρχει ένα μόνο δίκτυο RC (επισημαίνεται στην κόκκινη πλατεία) στο κύκλωμα και ως εκ τούτου το φίλτρο είναι ένα φίλτρο χαμηλής διέλευσης πρώτης τάξης
- «RL» είναι η αντίσταση φορτίου που συνδέεται στην έξοδο op-amp.
Εάν χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα διαχωριστή τάσης στο σημείο «V1» τότε μπορούμε να πάρουμε την τάση στον πυκνωτή ως, V 1 = V στο Εδώ -jXc = 1 / 2ᴫfc
Μετά την αντικατάσταση αυτής της εξίσωσης θα έχουμε κάτι σαν παρακάτω
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Τώρα το op-amp χρησιμοποιείται εδώ σε διαμόρφωση αρνητικής ανάδρασης και για μια τέτοια περίπτωση η εξίσωση τάσης εξόδου δίνεται ως, V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
Αυτός είναι ένας τυπικός τύπος και μπορείτε να δείτε κυκλώματα op-amp για περισσότερες λεπτομέρειες.
Εάν υποβάλουμε εξίσωση V1 στο Vo θα έχουμε, V0 = (1 + R F / R 1)
Αφού ξαναγράψουμε αυτήν την εξίσωση μπορούμε να έχουμε, V 0 / V σε = A F / (1 + j (f / f L))
Σε αυτήν την εξίσωση,
- V 0 / V in = κέρδος του φίλτρου ως συνάρτηση της συχνότητας
- AF = (1 + R F / R 1) = κέρδος ζώνης πρόσβασης του φίλτρου
- f = συχνότητα του σήματος εισόδου
- f L = 1 / 2ᴫRC = συχνότητα αποκοπής του φίλτρου. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την εξίσωση για να επιλέξουμε τις κατάλληλες τιμές αντίστασης και πυκνωτή για να επιλέξετε τη συχνότητα αποκοπής του κυκλώματος.
Εάν μετατρέψουμε την παραπάνω εξίσωση σε πολική μορφή που θα έχουμε,
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την εξίσωση για να παρατηρήσουμε την αλλαγή στο μέγεθος κέρδους με την αλλαγή στη συχνότητα του σήματος εισόδου.
Περίπτωση 1: f <
Έτσι, όταν η συχνότητα εισόδου είναι πολύ μικρότερη από τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου, τότε το μέγεθος κέρδους είναι περίπου ίσο με το κέρδος βρόχου του op-amp.
2η Περίπτωση: f = f L. Εάν η συχνότητα εισόδου είναι ίση με τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου τότε,
Έτσι, όταν η συχνότητα εισόδου είναι ίση με τη συχνότητα αποκοπής φίλτρου, τότε το μέγεθος κέρδους είναι 0,707 φορές το κέρδος βρόχου του op-amp.
Case3: f> f L. Εάν η συχνότητα εισόδου είναι υψηλότερη από τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου τότε,
Όπως μπορείτε να δείτε από το σχέδιο, το κέρδος του φίλτρου θα είναι το ίδιο με το κέρδος op-amp έως ότου η συχνότητα σήματος εισόδου να είναι μικρότερη από τη συχνότητα αποκοπής. Αλλά μόλις η συχνότητα σήματος εισόδου φτάσει στη συχνότητα αποκοπής, το κέρδος μειώνεται οριακά όπως φαίνεται στην περίπτωση δύο. Και καθώς η συχνότητα σήματος εισόδου αυξάνεται ακόμη περισσότερο, το κέρδος μειώνεται σταδιακά μέχρι να φτάσει στο μηδέν. Έτσι, το φίλτρο Butterworth χαμηλής διέλευσης επιτρέπει στο σήμα εισόδου να εμφανίζεται στην έξοδο έως ότου η συχνότητα του σήματος εισόδου είναι χαμηλότερη από τη συχνότητα αποκοπής.
Εάν έχουμε σχεδιάσει το γράφημα απόκρισης συχνότητας για το παραπάνω κύκλωμα θα έχουμε,
Όπως φαίνεται στο γράφημα, το κέρδος θα είναι γραμμικό έως ότου η συχνότητα του σήματος εισόδου διασχίσει την τιμή συχνότητας αποκοπής και μόλις συμβεί αυτό το κέρδος μειώνεται σημαντικά, όπως και η τιμή τάσης εξόδου.
Φίλτρο χαμηλής διέλευσης Butterworth δεύτερης τάξης
Η εικόνα δείχνει το μοντέλο κυκλώματος του φίλτρου χαμηλής διέλευσης Butterworth 2ης τάξης.
Στο κύκλωμα έχουμε:
- Τάση «Vin» ως σήμα τάσης εισόδου το οποίο είναι αναλογικό στη φύση.
- Η τάση «Vo» είναι η τάση εξόδου του λειτουργικού ενισχυτή.
- Οι αντιστάσεις «RF» και «R1» είναι οι αρνητικές αντιστάσεις ανάδρασης του λειτουργικού ενισχυτή.
- Υπάρχει ένα διπλό δίκτυο RC (επισημασμένο σε ένα κόκκινο τετράγωνο) στο κύκλωμα και ως εκ τούτου το φίλτρο είναι ένα φίλτρο χαμηλής διέλευσης δεύτερης τάξης.
- «RL» είναι η αντίσταση φορτίου που συνδέεται στην έξοδο op-amp.
Παραγώγιμο φίλτρο Butterworth δεύτερης τάξης
Τα φίλτρα δεύτερης τάξης είναι σημαντικά επειδή τα φίλτρα υψηλότερης τάξης έχουν σχεδιαστεί χρησιμοποιώντας αυτά. Το κέρδος του φίλτρου δεύτερης τάξης ρυθμίζεται από τα R1 και RF, ενώ η συχνότητα αποκοπής f H προσδιορίζεται με R 2, R 3, C 2 & C 3 αξίες. Η παραγωγή για τη συχνότητα αποκοπής δίνεται ως εξής, f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
Η εξίσωση κέρδους τάσης για αυτό το κύκλωμα μπορεί επίσης να βρεθεί με παρόμοιο τρόπο όπως πριν και αυτή η εξίσωση δίνεται παρακάτω,
Σε αυτήν την εξίσωση,
- V 0 / V in = κέρδος του φίλτρου ως συνάρτηση της συχνότητας
- A F = (1 + R F / R 1) κέρδος ζώνης πρόσβασης του φίλτρου
- f = συχνότητα του σήματος εισόδου
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = συχνότητα αποκοπής του φίλτρου. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την εξίσωση για να επιλέξουμε τις κατάλληλες τιμές αντίστασης και πυκνωτή για να επιλέξετε τη συχνότητα αποκοπής του κυκλώματος. Επίσης, αν επιλέξουμε την ίδια αντίσταση και πυκνωτή στο δίκτυο RC τότε η εξίσωση γίνεται,
Μπορούμε να εξισώσουμε την τάση για να παρατηρήσουμε την αλλαγή στο μέγεθος κέρδους με την αντίστοιχη αλλαγή στη συχνότητα του σήματος εισόδου.
Περίπτωση 1: f <
Έτσι, όταν η συχνότητα εισόδου είναι πολύ μικρότερη από τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου, τότε το μέγεθος κέρδους είναι περίπου ίσο με το κέρδος βρόχου του op-amp.
2η Περίπτωση: f = f H. Εάν η συχνότητα εισόδου είναι ίση με τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου τότε,
Έτσι, όταν η συχνότητα εισόδου είναι ίση με τη συχνότητα αποκοπής φίλτρου, τότε το μέγεθος κέρδους είναι 0,707 φορές το κέρδος βρόχου του op-amp.
Case3: στ> f H. Εάν η συχνότητα εισόδου είναι πραγματικά υψηλότερη από τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου τότε,
Παρόμοιο με το φίλτρο πρώτης τάξεως, το κέρδος του φίλτρου θα είναι το ίδιο με το κέρδος op-amp έως ότου η συχνότητα σήματος εισόδου να είναι μικρότερη από τη συχνότητα αποκοπής. Αλλά μόλις η συχνότητα σήματος εισόδου φτάσει στη συχνότητα αποκοπής, το κέρδος μειώνεται οριακά όπως φαίνεται στην περίπτωση δύο. Και καθώς η συχνότητα σήματος εισόδου αυξάνεται ακόμη περισσότερο, το κέρδος μειώνεται σταδιακά μέχρι να φτάσει στο μηδέν. Έτσι, το φίλτρο Butterworth χαμηλής διέλευσης επιτρέπει στο σήμα εισόδου να εμφανίζεται στην έξοδο έως ότου η συχνότητα του σήματος εισόδου είναι χαμηλότερη από τη συχνότητα αποκοπής.
Αν σχεδιάσουμε το γράφημα απόκρισης συχνότητας για το παραπάνω κύκλωμα θα έχουμε,
Τώρα ίσως αναρωτιέστε πού είναι η διαφορά μεταξύ φίλτρου πρώτης τάξης και φίλτρου δεύτερης τάξης; Η απάντηση είναι στο γράφημα, εάν παρατηρήσετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε αφού η συχνότητα σήματος εισόδου διασχίσει τη συχνότητα αποκοπής, το γράφημα αποκτά απότομη πτώση και αυτή η πτώση είναι πιο εμφανής στη δεύτερη σειρά σε σύγκριση με την πρώτη σειρά. Με αυτήν την απότομη κλίση, το φίλτρο Butterworth δεύτερης τάξης θα έχει μεγαλύτερη κλίση προς το ιδανικό γράφημα φίλτρου σε σύγκριση με ένα φίλτρο Butterworth μίας παραγγελίας.
Αυτό είναι το ίδιο για φίλτρο Low Pass τρίτης παραγγελίας Butterworth, φίλτρο Low Pass Low For Order και ούτω καθεξής Όσο υψηλότερη είναι η σειρά του φίλτρου, τόσο περισσότερο το γράφημα κέρδους βασίζεται σε ένα ιδανικό γράφημα φίλτρου. Εάν σχεδιάσουμε το γράφημα κέρδους για φίλτρα Butterworth υψηλότερης τάξης, θα έχουμε κάτι σαν αυτό,
Στο γράφημα, η πράσινη καμπύλη αντιπροσωπεύει την ιδανική καμπύλη φίλτρου και μπορείτε να δείτε καθώς η σειρά του φίλτρου Butterworth αυξάνει το γράφημα κέρδους του κλίνει περισσότερο προς την ιδανική καμπύλη. Όσο υψηλότερη είναι η επιλεγμένη σειρά φίλτρου Butterworth, τόσο πιο ιδανική θα είναι η καμπύλη κέρδους. Με αυτά τα λόγια δεν μπορείτε να επιλέξετε ένα φίλτρο υψηλότερης τάξης εύκολα καθώς η ακρίβεια του φίλτρου μειώνεται με την αύξηση της παραγγελίας. Ως εκ τούτου, είναι καλύτερο να επιλέξετε τη σειρά ενός φίλτρου παρακολουθώντας παράλληλα την απαιτούμενη ακρίβεια.
Παράγωγα φίλτρου Lowworth δεύτερης τάξης Butterworth -Aliter
Μετά τη δημοσίευση του άρθρου λάβαμε ένα μήνυμα από τον Keith Vogel, ο οποίος είναι συνταξιούχος ηλεκτρολόγος μηχανικός. Είχε παρατηρήσει μια ευρέως σφάλματος στην περιγραφή του 2 ου φίλτρο χαμηλής διέλευσης ώστε και πρόσφερε την εξήγησή του για να διορθώσει το οποίο έχει ως εξής.
Επιτρέψτε μου λοιπόν να το κάνω σωστά:
Και μετά πηγαίνετε να πείτε ότι η συχνότητα αποκοπής -6db περιγράφεται από την εξίσωση:
f c = 1 / (
Ωστόσο, αυτό δεν είναι αλήθεια! Ας σας πούμε να με πιστέψετε. Ας κάνουμε ένα κύκλωμα όπου R1 = R2 = 160 και C1 = C2 = 100nF (0.1uF). Δεδομένης της εξίσωσης, θα πρέπει να έχουμε συχνότητα -6db:
f c = 1 / (
Ας προχωρήσουμε και να προσομοιώσουμε το κύκλωμα και να δούμε πού βρίσκεται το σημείο -6db:
Ω, προσομοιώνεται στα 6,33kHz ΟΧΙ 9,947kHz. αλλά η προσομοίωση δεν είναι λάθος!
Για πληροφορίες σας, έχω χρησιμοποιήσει -6.0206db αντί -6db επειδή το 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 είναι λίγο πιο κοντά στον αριθμό από -6 και για να λάβω μια πιο ακριβή προσομοιωμένη συχνότητα στις εξισώσεις μας, ήθελα να χρησιμοποιήσω κάτι λίγο πιο κοντά από το -6db. Αν ήθελα πραγματικά να επιτύχω τη συχνότητα που περιγράφεται από την εξίσωση, θα πρέπει να κάνω buffer μεταξύ του 1ου και του 2ου σταδίου του φίλτρου. Ένα πιο ακριβές κύκλωμα στην εξίσωση μας θα ήταν:
Και εδώ βλέπουμε το σημείο -6.0206db να προσομοιώνεται στα 9,945kHz, πολύ πιο κοντά στα υπολογισμένα 9,947kHZ. Ας ελπίσουμε ότι με πιστεύετε ότι υπάρχει σφάλμα! Τώρα ας μιλήσουμε για το πώς προέκυψε το σφάλμα και γιατί αυτό είναι απλώς κακό μηχανικό.
Οι περισσότερες περιγραφές θα ξεκινήσουν με ένα φίλτρο χαμηλής διέλευσης 1ης τάξης, με την αντίσταση ως εξής.
Και έχετε μια απλή λειτουργία μεταφοράς:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
Στη συνέχεια, λένε, αν απλά βάλτε 2 από αυτά μαζί για να κάνουν ένα 2 nd φίλτρο σειρά, μπορείτε να πάρετε:
H (s) = H 1 (s) * H 2 (s).
Όπου H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Το οποίο όταν υπολογιστεί θα έχει ως αποτέλεσμα την εξίσωση fc = 1 / (2π√R1C1R2C2) Εδώ είναι το σφάλμα, η απόκριση των H 1 (s) ΔΕΝ είναι ανεξάρτητη από H 2 (s) στο κύκλωμα, δεν μπορείτε να πείτε H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1).
Η σύνθετη αντίσταση του H 2 (ες) επηρεάζει την απόκριση των H 1 (ες). Και έτσι γιατί αυτό λειτουργεί το κύκλωμα, επειδή το ολοκληρωμένο απομονώνει H 2 (α) από την H 1 (s)!
Τώρα θα αναλύσω το ακόλουθο κύκλωμα. Εξετάστε το αρχικό μας κύκλωμα:
Για απλότητα, θα κάνω R1 = R2 και C1 = C2, διαφορετικά, τα μαθηματικά εμπλέκονται πραγματικά. Αλλά θα πρέπει να μπορούμε να αντλήσουμε την πραγματική συνάρτηση μεταφοράς και να τη συγκρίνουμε με τις προσομοιώσεις μας για επικύρωση όταν τελειώσουμε.
Αν πούμε, Z 1 = 1 / sC παράλληλα με το (R + 1 / sC), μπορούμε να σχεδιάσουμε ξανά το κύκλωμα ως:
Γνωρίζουμε ότι V 1 / V σε = Z 1 / (R + Z 1); Όπου το Z 1 μπορεί να είναι μια σύνθετη σύνθετη αντίσταση. Και αν επιστρέψουμε στο αρχικό μας κύκλωμα, μπορούμε να δούμε Z 1 = 1 / sC παράλληλα με (R + 1 / sC)
Μπορούμε επίσης να δούμε ότι Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1), που είναι H 2 (s). Αλλά το H 1 (s) είναι πολύ πιο περίπλοκο, είναι Z 1 / (R + Z 1) όπου Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC); και ΔΕΝ είναι 1 / (sRC + 1)!
Τώρα λοιπόν ας περάσουμε τα μαθηματικά για το κύκλωμα μας. για την ειδική περίπτωση R1 = R2 και C1 = C2.
Εχουμε:
V 1 / V σε = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) 2 R + 2sC) Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1)
Και τελικά
Vo / V σε = * = * = * = * = *
Εδώ μπορούμε να δούμε ότι:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
όχι 1 / (sRC + 1) H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Και..
Vo / V σε = H 1 (s) * H 2 (s) = * = 1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1)
Γνωρίζουμε ότι το σημείο -6db είναι (
Και γνωρίζουμε ότι όταν το μέγεθος της λειτουργίας μεταφοράς μας είναι 0,5, είμαστε στη συχνότητα -6db.
Ας το λύσουμε λοιπόν:
-Vo / V σε - = -1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5
Ας s = jꙍ, έχουμε:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- ((ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
Για να βρείτε το μέγεθος, πάρτε την τετραγωνική ρίζα του τετραγώνου των πραγματικών και φανταστικών όρων.
sqrt (((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
τετράγωνο και των δύο πλευρών:
((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
Επέκταση:
1 - 2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 - 3 = 0
Έστω x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x - 3 = 0
Χρησιμοποιώντας την τετραγωνική εξίσωση για επίλυση του x
x = (-7 +/- sqrt (49 - 4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. μόνο η πραγματική απάντηση είναι το +
Θυμάμαι
x = (ꙍRC) 2
αντικαθιστώντας το x
(ꙍRC) 2 = (
Αντικατάσταση ꙍ με 2
2
f c = (
Άσχημο, ίσως να μην με πιστέψετε, γι 'αυτό διαβάστε… Για το αρχικό κύκλωμα σας έδωσα:
f c = (
Αν επιστρέψουμε στην αρχική μας προσομοίωση για αυτό το κύκλωμα, είδαμε τη συχνότητα -6db στα ~ 6.331kHz που ευθυγραμμίζεται ακριβώς με τους υπολογισμούς μας!
Προσομοιώστε αυτό για άλλες τιμές, θα δείτε ότι η εξίσωση είναι σωστή.
Μπορούμε να δούμε ότι όταν κάνουμε buffer μεταξύ των δύο φίλτρων χαμηλής διέλευσης 1ης τάξης μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση
f c = 1 / (
Και αν R1 = R2 και C1 = C2 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση:
f γ = 1 /
Αλλά αν δεν κάνουμε buffer μεταξύ των δύο φίλτρων 1ης τάξης, η εξίσωση μας (δεδομένου R1 = R2, C1 = C2) γίνεται:
f c = (
f c ~ 0,6365 / 2
Προειδοποίηση, μην επιχειρήσετε να πείτε:
f c = 0,6365 / (
Θυμηθείτε, H 2 (s) επιδράσεις H 1 (s)? αλλά όχι το αντίστροφο, τα φίλτρα δεν είναι συμμετρικά, οπότε μην κάνετε αυτήν την υπόθεση!
Έτσι, εάν πρόκειται να μείνετε με την τρέχουσα εξίσωση, θα συνιστούσα ένα κύκλωμα που μοιάζει περισσότερο με αυτό:
